In der Mathematik ist ein Fraktal eine selbstähnliche Teilmenge des euklidischen Raums, dessen fraktale Dimension seine topologische Dimension streng überschreitet. Fraktale erscheinen auf verschiedenen Ebenen gleich, wie in aufeinanderfolgenden Vergrößerungen des Mandelbrot-Sets veranschaulicht wird. [1] [2] [3] [4] Fraktale weisen ähnliche Muster in immer kleinen Maßstäben auf, die als Selbstähnlichkeit bezeichnet werden, auch als expandierende Symmetrie oder sich entfaltende Symmetrie bekannt; wenn diese Replikation in jeder Skala genau gleich ist, wie im Menger-Schwamm,[5] wird sie affine self-similar genannt. Die Fraktale Geometrie liegt innerhalb des mathematischen Zweiges der Messtheorie. Fraktale Auftaumuster, polarer Mars. Die Muster werden durch Sublimation von gefrorenem CO2 gebildet. Die Bildbreite beträgt etwa einen Kilometer. Wenn Sie mehrere Anzeigeauflösungen unterstützen, aber jeder Ihr Bild in der gleichen realen Größe auf dem Bildschirm sieht, können Sie dem Browser erlauben, ein geeignetes Auflösungsbild auszuwählen, indem Sie srcset mit x-Deskriptoren und ohne Größen verwenden – eine etwas einfachere Syntax! Ein Beispiel dafür, wie dies aussieht, finden Sie in srcset-resolutions.html (siehe auch Quellcode): Klassisches Luxus-Altmodisches Blumenmusterelement Für eine ganze Zahl d sind diese Sets connectedness loci für die Julia-Sets, die aus derselben Formel erstellt wurden. Die vollständige kubische Verbundenheit Lokus wurde ebenfalls untersucht; Dabei betrachtet man die Zweiparameter-Rekursion z ↦ z 3 + 3 k z + c `displaystyle z`mapsto z`{3}+3kz+c` , deren zwei kritische Punkte die komplexen Quadratwurzeln des Parameters k sind.

Ein Parameter befindet sich im kubischen Verbindungsort, wenn beide kritischen Punkte stabil sind. [26] Für allgemeine Familien holomorpher Funktionen verallgemeinert sich die Grenze des Mandelbrot-Sets zum Bifurkations-Lokus, der ein natürliches Objekt ist, das untersucht werden muss, selbst wenn der Zusammenhängen-Ort nicht nützlich ist. Hinweis: Wenn der Browser beim Testen mit einem Desktopbrowser die schmaleren Bilder nicht lädt, wenn das Fenster auf die schmalste Breite festgelegt ist, sehen Sie sich an, was das Ansichtsfenster ist (Sie können es annähern, indem Sie in die JavaScript-Konsole des Browsers gehen und document.querySelector(`html`))).clientWidth eingeben). Verschiedene Browser haben minimale Größen, auf die Sie die Fensterbreite reduzieren können, und sie können breiter sein, als Sie denken würden. Wenn Sie es mit einem mobilen Browser testen, können Sie Tools wie die Seite about:debugging von Firefox verwenden, um die auf mobilgerätende Seite mithilfe der Desktopentwicklertools zu überprüfen. Um zu sehen, welche Bilder geladen wurden, Sie können Firefox DevTools Network Monitor Tab verwenden. Multibrot-Sets sind begrenzt Sets in der komplexen Ebene für Mitglieder der allgemeinen mononic univariate Polyvariate Polynom-Familie von Rekursionen Einer der nächsten Meilensteine kam 1904, als Helge von Koch, erweiternde Ideen von Poincaré und unzufrieden mit Weierstrass abstrakte und analytische Definition, gab eine geometrischere Definition einschließlich handgezeichneter Bilder von einer ähnlichen Funktion , das jetzt Koch-Schneeflocke genannt wird. [9]:25[10] Ein weiterer Meilenstein kam ein Jahrzehnt später im Jahr 1915, als Waclaw Sierpiski sein berühmtes Dreieck baute, dann ein Jahr später seinen Teppich. 1918 kamen zwei französische Mathematiker, Pierre Fatou und Gaston Julia, unabhängig voneinander arbeitend, im Wesentlichen gleichzeitig zu Ergebnissen, die beschreiben, was heute als fraktales Verhalten im Zusammenhang mit der Kartierung komplexer Zahlen und iterativer Funktionen angesehen wird und zu weiteren Ideen über Attraktoren und Abweisende (d. h. Punkte, die andere Punkte anziehen oder abstoßen), die bei der Untersuchung von Fraktalen sehr wichtig geworden sind. [4] [9] [10] Kurz nach der Einreichung dieser Arbeiten, bis März 1918, erweiterte Felix Hausdorff die Definition von “Dimension”, deutlich für die Weiterentwicklung der Definition von Fraktalen, um Sets nicht-integer-Dimensionen zu ermöglichen.

[10] Die Idee der selbstähnlichen Kurven wurde von Paul Lévy weiterverfolgt, der in seinem 1938 erlesenen Papier “Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole” eine neue Fraktalkurve, die Lévy C-Kurve, beschrieb. [Anmerkungen 1] Ab dem 17. Jahrhundert mit Rekursvorstellungen, Fraktale haben sich durch eine immer strengere mathematische Behandlung des Konzepts zur Erforschung kontinuierlicher, aber nicht differenzierbarer Funktionen im 19. Jahrhundert durch die bahnbrechende Arbeit von Bernard Bozen, Bernhard Riemann und Karl Weierstrass[8] und zur Prägung des Wortes fraktal im 20. Jahrhundert mit anschließendem Aufblühen des Interesses an Fraktalen und computergestützter Modellierung im 20. Jahrhundert bewegt. [9] [10] Der Begriff “fraktal” wurde erstmals 1975 von dem Mathematiker Benoit Mandelbrot verwendet.